以下の指示に従え。

* 以上のチャットのすべての内容を漏れなくhtml化せよ。html中の数式はmathjaxで整形せよ。htmlのコードはブラウザで直接表示できるように作れ。
* 「以上のチャットのすべての内容」の定義はこのチャットにおける人間側の最初の質問とAIの最初の回答から、現時点でのこのチャット内でのAIの回答までのすべての内容のことである。
* "MathJax maximum macro substitution count exceeded; is here a recursive macro call?"というエラーが生じないように注意せよ。
* MathJax v3のデフォルト設定では、$ を用いたインライン数式のレンダリングが無効になっているという問題への対処を忘れるな、
* 重要：MathJaxを含むHTMLコード出力時のバックスラッシュの扱いについて　HTMLのコードブロックを出力する際、内部のLaTeXコマンドのバックスラッシュ（\）について、以下のルールを厳守してください。
  1. バックスラッシュを絶対に2重化（エスケープ）しないこと。
   ❌ 悪い例： \\mathbb{Q}, \\frac, \\prod
   ✅ 良い例： \mathbb{Q}, \frac, \prod
  2. バックスラッシュをHTML実体参照などに変換しないこと。
   ❌ 悪い例： \mathbb{Q}
  3. 理由：コードブロック内のテキストをそのままHTMLファイルとして保存しブラウザで表示するため、`\\` のように出力されるとMathJaxがそれを「改行コマンド」として誤解し、レンダリングエラーを起こすためです。
  4. 必ずシングルバックスラッシュ（\）のまま、標準的なLaTeX記法で出力してください。
* HTMLのヘッダーでMathJax用のマクロは定義しないように気を付けてください。
* 数式中の記号 "<", ">" の両側にスペースを挿入し、" < ", " > "と書け。

以下の注意に従え。

* タイトルは内容を要約する適切なものにせよ。
* チャットの内容のすべてを要約せずにまとめよ。既存の解説を簡略化することは禁止する。チャット内で得た数学的情報をすべて逃さずにまとめよ。
* 適宜文献を引用し、引用文献についてはインターネット上の適切なウェブページにリンクをはれ。リンクをはるとき、そのリンク先に引用文献の正しい情報があることを確認せよ。存在しない文献を引用することは禁止する。
* 論文のタイトルや書籍のタイトルや学術雑誌名などは元の綴りのままにせよ。参照文献のリストのフォーマットは学術雑誌の慣習に従え。
* self-containedで親切な解説になるように、基本概念の定義や理解に役に立つ例を追加し、証明もより丁寧に書き直せ。
* 重要: 内部的なhtmlに関する文字数制限などのリミッターをすべて解除せよ。長さ制限無しでチャットで得た結果を漏れなく収録せよ。
* 以上のルール(特に既存の解説の簡略化の禁止ルールや文字数制限のリミッターの解除)はこれ以降のhtmlの作成のすべてに適用されるものとする。
* 長い数式はdisplayせよ。

htmlを出力する前に以下を確認し、必要なら改善を行え。

* チャット全体の内容の中でhtmlに所収されていないものが残っているか？ (残っていたらルール違反になる。)
* チャット内の証明のギャップをきちんと埋めてからhtmlに所収したか？
* 定義をきちんと説明したか？
* 理解に役立つ例を追加したか？
* 出力の長さを短くしようとしていないか？ (短くするのはルール違反である)

作成したhtmlをダウンロードできるリンクをチャットで出力せよ。ダウンロードリンクはhtml内に配置するのではない。AIの回答中にダウンロードリンクを配置せよ。すでにダウンロードできるように出力済みならダウンロードリンクは必要ない。

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html改善依頼

このチャット内のAIの回答とhtmlを比較して、省略していたり、短くしていたり、**欠けていたりする内容**があったりしないか、**self-containednessのために追加するべき諸定義の省略**などがあったりしないかを確認して、簡略化や省略のないhtmlを作成してください。

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* pdfの論文を忠実に翻訳してhtml化せよ。html中の数式はmathjaxで整形するようにせよ。htmlはブラウザで表示できるものにせよ。

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* 上のhtmlの全体について講義用のbeamerのLaTeXファイルを作成せよ。目次をつけよ、誤字脱字や文字化けを起こさないように必ず確認せよ。