ちなみに実平面の任意の一次変換を「z→αz+β(zの複素共役)」の形で表現できます。でも、2×2行列を使った表現の方が素直でよいと思う。これが来年度の大学入試問題で出たら教えて下さい。

ネタ続き。一つ前のツイートはネタ（冗談）。実2次対称行列で表現される一次変換の対角化の複素数および複素平面での定式化。一般の一次変換の話にすると次のツイートのようになる。

2/24のツイの再掲【ネタ】複素数α,βで|αの虚部|≦|β|を満たすものに対して、0でない複素数zと実数λでαz+β(zの複素共役)=λzを満たすものが存在することを示せ。

ネタ(冗談)の続き。実2×2行列が実数の固有値を持つための条件を複素数で書き直しただけ。

複素有理型函数 f(z) を実数値函数 u, v を使って f(z) = u - iv と表示しておいて、ベクトル場 (u,v) をプロットすれば、二次元理想流体ごっこができる。おそらく探せば画像をすでにたくさん公開している人がいるんじゃないかな？

@v_solid ぼくの今日の連ツイでも強調したように複素平面の導入は自明で大した話じゃないです。そして、[cos θ - sin θ][sin θ cos θ]の形の行列について勉強していれば、複素平面の回転もすぐに理解できます。複素平面は大したことないです。

ツイッターで複素平面について講義。複素数と三角函数の加法定理と座標平面については知っていることを仮定。複素数 z=x+iy (x,yは実数)と平面上の点(x,y)を同一視すると、平面は複素数全体で構成されていると思えます。そのときその平面を複素平面と呼びます。続く

続き。たとえば複素数1+i√3は平面上の点(1,√3)の別の書き方だと思うことにするわけです。もっと露骨に書けば1+i√3=(1,√3)だとみなすわけです。1+i0=(1,0)、0+i1=(0,1)になる。しかし、こういう露骨な書き方をすると混同しやすいので以下では控えます。続く

続き。面白いのは複素数の掛算と三角函数の加法定理の関係です。以下、z=x+iy, w=u+iv (x,y,u,vは実数)とおき、対応する平面上の点(x,y),(u,v)を考えることにします。原点から(x,y)までの距離をrと、原点から(u,v)までの距離をsと書きます。続く

続き。すると三角函数の定義から、(x,y)=(r cos θ, r sin θ)、(u,v) = (s cos φ, s sin φ) となります。対応する複素数の方では z=r(cos θ + i sin θ)、w=s(cos φ + i sin φ) となっています。続く

続き。練習問題：以上の状況で、zw=rs(cos(θ+φ) + i sin(θ+φ))が成立することを示せ。略解：三角函数の加法定理を使えばよい。がんばって計算してみて下さい。解説：実は上の練習問題の公式の幾何学的意味がものすごく重要。ここが最重要点。続く

続き。複素数zw=rs(cos(θ+φ) + i sin(θ+φ))に対応する平面上の点は(rs cos(θ+φ), rs sin(θ+φ))です。原点からこの点までの距離は rs でx軸の正方向から角度 θ+φ 反時計まわりにまわった方向にこの点はあります！続く

続き。複素数の計算は i^2=-1 というルールさえ覚えておけばできるのですが、複素平面を通して視覚的に解釈してやると、複素数の掛算は「原点からの距離をかけて、x軸の正方向との角度を足す」という幾何学的に分かり易い操作であることがわかるのです。大事なので繰り返した。続く

続く。たとえば応用として i の平方根を計算に頼らずに図形的な直感だけに基いて求めてみましょう。i に対応する平面上の点は(0,1)です。原点からの距離は1でx軸の正方向から角度90°=π/2まわった方向に位置しています。だから2乗して i になる複素数に対応する～続く

続き～平面上の点は、原点からの距離の2乗が1になるような点でなければいけません。そのような点への原点からの距離は1になります（あたりまえ）。次に2乗してiになる複素数に対応する点の x 軸の正方向とのなす角度θについて考えましょう。続く

続き。これで i の平方根が２つ求まりました。 α=cos 45° + i sin 45° と β=cos 225° + i sin 225° の２つです。地道な計算は一切必要無かったことが大事なポイントです。続く

続き。練習問題：上と同様にして z^6=1 を満たす複素数 z をすべて求めよ。答：α_k = cos(2πk/6)+i sin(2πik/6) (k=0,1,2,3,4,5).α_kを6乗は平面上の単位円周上をk回転して平面上の点(1,0)に到達する計算になります。

続き。複素数の掛算が複素平面上でのx軸の正方向とのなす角度については足算になるということは、複素数の掛算で複素平面の回転を表現できることを意味しています。平面をくるくるまわす様子を想像できる人は複素数の掛算も直観的に理解できる。これで複素平面の話はおしまい。続く

続き。さらに、行列の話を知っていれば、複素数の掛算で平面をくるくるまわす話と、行列で回転する話を関係付けることもできます。ぼくが見た高３の教科書には次の行列が書いてありました：[cos θ - sin θ][sin θ cos θ]これを R(θ) と書きましょう。続く

続き。ぼくが見た高３の教科書には行列 R(θ) は平面の角度θの回転を表現していることがしっかり書かれていました。実はこの行列 R(θ) と複素数 cos θ + i sin θ と「同じもの」だと思えます。どちらも掛算によって平面の角度θの回転の表現になっている。続く

続き。この「同じもの」とみなす操作は、特殊な複素数 cos θ + i sin θ から、一般の複素数 x + iy まで自然に拡張されます。 z = x + iy に次の行列をさせればよい。[x -y][y x]この行列を A(z) と書きましょう。続く

たとえば、虚数単位 i に対応する行列 A(i) は[0 -1][1 0]になります。 I = A(i) とおきましょう。Iの2乗 I^2 を計算してみて下さい。 I^2 は単位行列 E の -1 倍になります。 I^2 = -E です。続く

続き。I = A(i) は i^2 = -1 をみたす i と「同じもの」とみなせるという話をしているのだからが、当然 I^2 = -E となるべきであり、実際にそうなっているわけです。これで、複素数と実数を成分に持つ2×2行列も繋げることができました。続く

続く。以上の話を知っていればあとは自分で他にどのような良いことが起こっているかを確認する散歩をするだけです。多くの人が数学の勉強で失敗するのは手間のかかる散歩をさぼるからだと思います。とにかく時間が大量に取られる感じで、上手にナビゲートしてくれる人や本を見付けた人はラッキーかも。

おまけ。以上の話は四元数への単純な拡張があります。複素数が i^2=-1 で構成されるのと同様に四元数は i^2=j^2=k^2=-1, ij=-ji=k (残りは略してよい)で構成されます。i,j,kたちについては掛算の順序を勝手にひっくり返さないように注意して下さい。続く

続き。任意の四元数 q = a+bi+cj+dk (a,b,c,dは実数)は q=z+iwと複素数 z=a+cj, w=b+dj を使って表わされます。i(b+dj)=(b-dj)iに注意。複素数を実数を成分に持つ2×2行列で表現できたのと同じことをできます。続く

続き。複素数 z と w の虚数単位が j になっていることに注意。q=z+iw に対応する行列を[ z -w^*][ w z^* ]と定めると色々つじつまが合っていることが容易に計算で確認できます。ここで z^* は複素共役。(a+cj)^*=(a-cj)

続き。複素数と平面の回転の関係は、実は四元数と3次元空間のあいだのちょっと非自明な関係に拡張できます。スピノルという用語が使われることがある。数学科の学生は SU(2) という名前の群を習いますが、実はその話になります。

続き。3DCGをやっている人は、3次元空間の回転が実数を成分に持つ3×3行列で表現可能なことを知っているはずです。実は3次元空間の回転は複素数を成分に持つ2×2行列[ z -w^*][ w z^* ]でも表現可能なのです。ここで、|z|^2+|w|^2=1です。

続き。面倒なので理解可能な説明をサボってしまいますが、3次元空間の回転を実3×3行列ではなく、複素2×2行列(もしくは一つの四元数)でちょっとややこしく表現することにはメリットがあります。そのメリットについても説明をサボりますが、人工衛星の制御なんかでも使われているらしい。

続き。大体において数学の話は、算数レベルから高校レベルの易しいことのほんのちょっとわきにそれるだけで、結構複雑で数学者が面白いと思うような世界に突入してしまいます。高校までの数学のカリキュラムは役に立ってかつ易しい部分についてだけ教えるほそ～い道を通らせるようになっている。

続き。実は以上で述べたことも役に立つことがよく知られていて易しい話にすぎないのですが、あとほんのちょっと足を踏み外すだけで「トテモオモシロイセカイ」に突入してしまいます。そういうのに興味がある人は大学院レベル以上の数学を勉強してもらうしかない感じ。

続き。高校生レベルの複素平面の話に戻る。高校で e^x という実数 x の函数について習います。実は解析接続という自然な方法でこれを複素数 z の函数 e^z に拡張でき、実数x,yについて e^{x+iy}=e^x(cos y + i sin y) が成立します。続く

続き。e^{iy}=cos y + i sin y をどのように確認するかが問題になりますが、よくあるやり方はマクローリン展開 e^z = Σ z^n/n! に z=iy を代入することです。やってみたことがない人はやってみるとよいでしょう。

https://twitter.com/genkuroki/status/439669087682428929 … のあたりの連ツイの話については、２つの行列[a -b][b a][c -d][d c]の積と２つの複素数の積 (a+bi)(c+di) を比較してみるとよいとよいと思う。どちらも「同じ型」になる。続く

続き。そして、a=cos θ、b=sin θ、c=cos φ、d=sin φ の場合に行列と複素数で同じ計算をもう一回やってみる。そのときに三角函数の加法定理を使う。2×2行列を知っている受験生は「複素平面」の話を恐れる必要はないです。行列の形式で本質的内容をすでに習っています。

@v_solid どれも良い質問で滅茶苦茶うれしいです。まず、実2×2行列に関することは「原理的には」すべて複素数を使ってもできます。行列のn乗を求めるのと同等のことを複素数でもやろうと思えばできます。（個人的にはおすすめしない。）以下メンションを切って長々と書きます。続く

実数を成分とする2×2行列で表現される一次変換を複素数だけで表すことについて（半分ネタ）まず複素数z=x+iy (x,yは実数)の複素共役をz^*=x-iyと定義します。数学者が書いた教科書ではz^*ではなく、zの上に線を引いた表記法で書くことが多いです。続く

続き。複素共役は複素平面で見ると、x軸に関する線対称変換(x,y)→(x,-y)になっています。あと、複素数 cosθ + i sinθ の掛算は複素平面でみると角度θの回転です。複素数でx軸に関する線対称変換と回転を表現できることがわかりました。続く

続き。e^{iθ}をe^{iθ}=cosθ+i sinθで定義しておきます。これは定義だと思ってもよいし、解析接続(これは大学レベルの話)の結果だと思ってもどちらでも構いません。毎回cosとかsinと書くのはつらいので、e^{iθ}を導入しておきます。続く

続き。角度θの傾きを持つ直線は角度-θの回転でx軸に一致します。複素数e^{-iθ}をかけると複素平面が角度-θ回転する。次に複素共役をとると上下が反転します。そして複素数e^{iθ}をかけて直線の傾きをもとに戻します。この３つの操作を順番に複素数zにほどこした結果は～続く

続き。e^{iθ}(e^{-iθ}z)^*=e^{iθ}e^{iθ}z^*=e^{2iθ}z^* となります。途中で(zw)^*=z^* w^* と (e^{-iθ})^* = e^{iθ} を使いました。複素共役は掛算を保ち、e^{iθ} のθを-1倍します(θは実数)。続く

続き。要するに傾きθの直線に関する線対称変換は複素数に関する z → e^{2iθ} z^* という変換で表現できます。実はこれ高校の教科書に行列の形式ですでにのっています。e^{2iθ}=cos 2θ+i sin 2θ に対応する行列は～続く

続き～[cos 2θ -sin 2θ][sin 2θ cos 2θ]であり、x軸に関する線対称変換を表現する行列は[1 0][0 -1]です。これらをかけると教科書に書いてある線対称変換行列が出て来る。行列を習っていれば思い当たる節がたくさんあるはず。

続き。あと正の実数も複素数の一種です。正の実数 r をかける操作は複素平面全体を r 倍に拡大縮小する操作になっています。これで、回転、線対称変換、拡大縮小も複素数で表現できることがわかりました。もっと一般の2×2行列で表現される一次変換は複素数で表現可能か？可能です。続く

続き。答は複素数α、βで定まる複素数(=複素平面の点)の変換 f(z)=αz+βz^* の形で複素平面の実一次変換のすべてを表現できます。α＝p+qi、β=r+si、z=x+yi (p,q,r,s,x,yは実数)のとき、f(z)を計算すると結果は～続く

続き～ f(z)=(p+r)x-(q-s)y + i((q+s)x+(p-r)y) となる。だから、a=p+r、b=-(q-s)、c=q+s、d=p-r とおけば、fは次の行列に対応してることがわかります：[a b][c d]これと[x][y]の積と比較。

続き。逆に実数a,b,c,dを与えたとき、p,q,r,s,について逆に解けます。たとえばp=(a+d)/2などなど。これで実2×2行列Aによる一次変換は複素数に関する変換f(z)=αz+βz^*と本質的に同じものであることがわかりました。続く

続き。ぼくが見た高３の教科書には2×2のケーリー・ハミルトン(CH)の定理が載っていました。CH定理を以上の記号のもとで書き直すと f(f(z))-(α+α^*)f(z)+(|α|^2-|β|^2)z = 0 となります。|α|=√(p^2+q^2)です(複素数の絶対値)。

続き。受験数学に限らず、普遍的な手法として、行列のn乗を求めるときには行列を対角化できれば楽になります。行列の対角化は固有値・固有ベクトルを求めることと本質的に同じ。実固有値であれば複素平面の場合に容易に翻訳可能です。しかし、一般の場合にはあんまりメリットがない。続く

続き。しかし実2×2の対称行列の場合すなわち[a b][c d]でa,b,c,dがすべて実数でb=cの場合の対角化であれば複素平面での定式化でも非常に簡単になります。先の記号でb=-q+s、c=q+sなのでb=cとq=0は同値です。すなわちαが実数であることと同値。

続き。αは実数であるとします。βをβ=|β|e^{2iθ} (θは実数)とおくと、f(e^{iθ})=(α+|β|)e^{iθ}、f(ie^{iθ})=(α-|β|)ie^{iθ} となることが簡単な計算でわかります。一時変換 f が瞬殺で対角化されました。続く

続き。αが実数のとき f に対応する一次変換の固有値は実数α±|β|であり、それぞれに対する固有ベクトル(に対応する複素数)としてe^{iθ}、ie^{iθ}が取れる(ただしβ=|β|e^{2iθ})。続く

続き。e^{iθ} に対応する平面上の点の原点からの距離は常に1です(絶対値が1)。iをかける操作は90°の回転なので、e^{iθ}とie^{iθ}は「直交」しています。これで実2×2対称行列の固有値はすべて実数であり、回転行列による相似変換で対角化できることも証明されました。

続き。以上で説明したようなことを大学入学前に9割以上理解していしまうような数学的力があれば、大学入学後に数学の授業で困ることはないと思います。複素数を使う必然性が薄い話をあえてネタとしてやってみせただけであることに注意。これあくまでもネタです。

続く。受験勉強で2×2行列Aのn乗A^nを求める方法(CH定理やら固有値やら固有ベクトルやら)を勉強してしまった人はラッキーだったと思った方がよいです。そこで使われてる方法は概念的にも応用的にも重要でかつ基本的です。一生役に立ちます。

続き。高校の数学の先生や予備校の数学の先生なんかが、「受験に役に立つから」と高校生を「騙して」普遍的に重要な数学を教えてくれるのはとても素晴らしいことだと思います。