#数楽 【問題：1/12377の小数点以下第6193桁目の数は何か？】1000桁程度の精度で計算できる道具は自由に使ってよいことにしておきますが、コンピューターなどで6000桁を超える精度で計算をしてしまうのは反則ということにしておきます。

#数楽 【問題：1/12377の小数点以下第6193桁目の数は何か？】あと、この問題に出て来た数値をインターネットで検索するのも反則だとしておきます。実はこの問題についてはすでにツイッターで話したことがあるので、ツイッターでの私の発言の検索も反則。

#数楽 続き【問題：1/12377の小数点以下第6193桁目の数は何か？】という問題について真面目に勉強したい人には、高木貞治著『初等整数論講義第2版』共立出版のp.57から20頁程度を読むことをおすすめします。問題自体は小学生でも理解可能。しかし内容は結構深いです。

#数楽 続き。数学セミナー2016年2月号の特集もおすすめ。

#数楽 循環小数には小学生のときにみんな出会うのですが、そこにどのような法則があるかは結構難しい問題です。

#数楽 【問題：1/12377の小数点以下第6193桁目の数は何か？】コメント：12377という素数の選び方には大した意味はないです。小数点以下6193桁目を問題にしていることにも必然性はありません。6194桁目を問題にしてよかった。

#数楽 妻曰く【12376=2^3×7×13×17なので循環節が短い可能性がある。もしもそうなら～】←滅茶苦茶鋭くて怖くなるのですが、1/12377の循環節の長さは12376で、循環節が偶然に短くなってしまわないように素数を選んであります。

#数楽 オープンキャンパスで【99…9と9を並べてできる数で19で割り切れるものはあるか？】という問題を出したことがあります。真の問題は【任意に固定された2と5以外の素数pについて、99…9の形のpで割り切れる数が存在するか？】です。これらは先の問題よりもずっと易しい。

.@genkuroki #数楽 【問題：1/12377の小数点以下第6193桁目の数は何か？】ルール追加：10の大きなべきを mod 12377 で計算する方法以外の解法を見つけて下さい。手計算で可能な解法が存在します。

.@genkuroki #数楽 手計算で可能な解法を見つけるためになら、コンピューターを自由に使ってよい、ということにしておいた方が良かった。楽をするための方法を見つけるためにコンピューターを使うのは可だけど、手計算が面倒だという理由でコンピューターは使うのは不可。

.@genkuroki #数楽 続き。以上のような話題では任意精度の計算ができる電卓が欲しくなるはずです。どうせ真の問題は「答えそのもの」ではなく、「解法」もしくは「数学的法則」の方なので、コンピューターで答えをカンニングしても問題無しだと思う。続く

.@genkuroki #数楽 続き。そういうわけで便利な電卓サイトを探してみたのですが、私の結論は「WolframAlphaを使いましょう」です→ http://wolframalpha.com  。任意精度計算も modulo 計算も容易です。続く

@genkuroki #数楽 たとえば5 digits of 1/131→1/131を有効桁5桁で計算10^65 mod 131→10の65乗を131で割った余り1/131の66桁目を知りたければ→67 digits of 1/131+0.1→終わりから2番目の数字

@genkuroki #数楽 行列も扱えます→ http://wolframalpha.com/input/?i={%7B1,2},{2,3}}&x=0&y=0 …

@genkuroki #数楽 定積分もできます。ζ(3)の逐次積分表示→ http://wolframalpha.com/input/?i=int_0**1(int_0**x(int_0**y+1/((x-1)yz)+dz)dy)+dx&x=0&y=0 …

@genkuroki #数楽 http://www.wolframalpha.com/input/?i=Is 2^6972593-1 prime? …WolframAlphaは「2^6972593-1は素数」と答えてくれました。超巨大素数の表も持っているのかな？

@genkuroki #数楽 続き。そのとき、もしもmとnの最大公約数が1ならば、mn個のマス目のすべてが0からmn-1までの数でちょうど埋め尽くされる、というのが中国式剰余定理の１つの表現になっています。実際になってみると本当にそうなっていることを容易に確信できます。続く

@genkuroki #数楽 教科書の中国式剰余定理の証明を理解できなくても、斜め45度方向に進みながら番号を書き込んで行く作業を実際にしてみれば、「数学の世界で何が起こっているか」を正確に感じ取ることはできると思います。余りの計算も色々やってみると楽しいです。算数レベルの話。

@genkuroki #数楽 mとnの最大公約数が1の場合のm×nの離散トーラス上を斜め45度に進むとすべての点を通過できる」の形の中国式剰余定理は2次元離散トーラスに関する結果ですが、任意次元に拡張されます。3次元なら(1,1,1)の方向に進み続けて下さい。

@genkuroki #数楽 n_1,…,n_rのうち任意のn_i,n_j (i≠j)の最大公約数が1であるとき、n_1×…×n_rのr次元離散トーラス上を(1,…,1)の方向に進み続けるとすべての点を通過できる。これも中国式剰余定理と呼ばれています。

@genkuroki #数楽 2進数表示で11…1と1だけを並べた数で素数になるものはメルセンヌ素数と呼ばれています(そのとき並べる1の個数は素数にる(逆は成立しない))。メルセンヌ素数は2進数を基礎とする現代のデジタルコンピューターととても相性がよいです。

@genkuroki #数楽 メルセンヌ素数を8で割った余りは、2進数の11…1111を2進数の1000で割った余りなので、下3桁の111になります。すなわち常に7になります。5で割った余りの計算も簡単です。続く

@genkuroki #数楽 続き。1,2,4,8,16,32,…の5で割った余りの列は1,2,4,3,1,2,4,3,1,2,4,3,…と周期4を持ちます。この事実を使えば2^nを5で割った余りの計算はnを4で割った余りの計算に帰着できます。続く

@genkuroki #数楽 nが10進表示されていれば、nを4で割った余りは下2桁を4で割った余りに等しいので、瞬時に暗算で計算できます。計算するというより、瞬間的に心に余りが思い浮かんでしまうことでしょう。だから、p=2^n-1を5で割った余りも瞬時に計算できる。続く