#数楽 ペレルマンさんによるポアンカレ予想の解決では熱浴やエントロピーのような統計力学由来のアイデアが本質的に使われている。他の分野でもそういうことがあっても不思議ではないと思う。

#数楽 https://twitter.com/genkuroki/status/764912525775282176 …熱浴の話。大きな自由度を持つ系と固定された自由度を持つ系を合わせた全体系を考えて、全体系のエネルギーは一定という条件を課すとき、大きな自由度を持つ系を熱浴と呼びます。大きな自由度を∞にする極限を考える。続く

#数楽 続き。「これは熱浴だと解釈できる！」と言えるような数学の話はどれだけあるだろうか？数学の話にするときには物理にこだわらずに条件をゆるめて抽象化することが大事。続く

#数楽 続き。物理的にも熱浴とみなせる数学的に最もわかりやすい例は半径√NのN-1次元球面上の一様確率分布の1次元部分空間への射影だと思う(本質的にMaxwell-Boltzman分布の話)。N→∞の極限で1次元部分空間上への射影で得られる分布は〜続く

#数楽 続き〜標準正規分布になる。注目する系は1次元空間Rで、熱浴はN-1次元空間R^{N-1}で、それらを合わせた全体系はそれらの直積で得られるN次元空間R^Nです。全体系の中の注目する系に実際に注目することは、数学的にはR^NからRへの射影〜続く

#数楽 続き〜を考えることに対応しています。これだけだと単なる射影なのでN→∞としても何も面白いことは起こらない。ポイントは「全体系のエネルギーが一定」という条件を課すことです。先の例では全体系R^Nで半径√Nの球面を考えることがそれにあたります。続く

#数楽 半径の√NのN-1次元球面をS(N)⊂R^Nと書くことにしましょう。さらに注目する系RをXと書き、熱浴R^{N-1}をY(N)と書きましょう。以上をまとめると次の「図式」が得られます。S(N)⊂X×Y(N)→X続く

#数楽S(N)⊂X×Y(N)→Xこれが熱浴Y(N)を考える場合の基本パターンです。数学ではX←X×Y→Yという直積図式があるとき、さらにX×Y上に「何か」が載っているという状況をよく考えます(行列の一般化！)。続く

#数楽 続き。以下のような状況があれば自信を持って「これは数学的に熱浴を考えている状況だ」と言えると思います。(1)X←X×Y(2)X×Yの上には何かが乗っている(3)Yの次元が∞の「極限」を考える続く

#数楽 さらにX×YをZと書いて(1) Z→X(2) Zの上には何かが乗っており、そのXへの射影を考える(3) Xは固定し、Zの次元が∞の極限を考えるという状況があれば「数学的に熱浴を考えている」と言ってよいと思う。

#数楽 先のMB分布の例では(1)R^N→R(2)半径√Nの球面S(N)⊂R^N(3)S(N)上の一様確率分布のR上への射影のN→∞での極限は標準正規分布になるとなります。「これに似た数学的例はどれだけあるか」が私が皆さんにしたい質問。

#数楽 MB分布の例においては半径√Nの球面の半径を一般のrにして、R^N×R_{>0} 内における球面の族S={(x,r)|(xの長さ)=r}を考えた方がよいかもしれません。より一般にはZ→XのZの上に乗せるものの族を考えることになる。

#数楽 続き。熱浴の自由度Nを動かしたとき、Zの上に乗せたものも適切に動かして極限を取らないといけない。MB分布の例では球面の半径は√Nに比例しなければいけません。続く

#数楽 続き。ペレルマンさんが使った「リーマン幾何的熱浴」では、注目する系Xはリーマン多様体で熱浴YにあたるものはN次元球面S^Nです。そしてX×S^N×R_{>0}上に適切なリーマン計量を乗っけて、N→∞とする。確かにMB分布のケースに似ています。

#数楽 統計力学っぽいにおいがしないのに、これはどう見ても「熱浴」だ、と言えるような数学的な例があれば教えて欲しいと思います。

#数楽 DeligneさんによるWeil予想の第一証明の話もなんとなく「熱浴」っぽい話であるような感じがしているのだがどうか？ゼータの話は統計力学っぽい。やはり熱浴っぽい話は統計力学のにおいがする場所に住んでいるのか？

#数楽 R^Nにおける半径√Nの球面上の一様確率分布の射影の計算は多変数の微積分の簡単な演習問題です。http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20160501StirlingFormula.pdf … の9.8節と9.9節に解説を書いておきました。

#数楽 ちなみに、R^4の中の3次元球面上の一様確率分布の1次元部分空間への射影が佐藤・Tate予想に出て来る sin^2 分布です。3次元球面はSU(2)として出て来て、1次元部分空間への射影はSU(2)からその共役類全体の空間への射影として出て来る。

#数楽 当たり前の話ですが、N-1次元球面上の微積分だとか、2×2行列の話(たとえばSU(2))の話だとかを知らないと、普通に簡単な例の話をするときにかなり困る。

#数楽 SU(2)の共役類←→SU(2) の元の特性多項式←→SU(2)の元のトレース(の2分の1)という一対一対応について知っていれば、SU(2)の元にそのトレース(の2分の1)を対応させる写像はSU(2)の元に共役類を対応させる写像だと解釈できる。

#数楽 熱浴の話の続き。初歩的な確率論では、注目する系Xと熱浴Yが全然別の系ではなく、注目するXのコピーを大量に用意したものが「熱浴」的によく出て来ます。いわゆるi.i.d.(独立同分布)の確率変数列。簡単に言えばサイコロを何度も振る話。

#数楽 サイコロの目の集合をXと書き、X上に確率分布が与えられているとします。サイコロをN回ふったときの目の出方全体の集合はX^Nと書ける。その第1成分(第1である必要はない)への射影X^N→Xが全体系X^Nの中の注目する系だけに注目する行為の数学的表現になっている。続く

#数楽 続き。独立試行の1つだけに注目しても新たな情報は何も得られないので、意味のある議論をするためには全体系X^Nの部分集合への制限を考える必要があります。制限の仕方は一通りだけではなく、異なる制限の仕方ごとに異なる定理が得られるわけです。Sanovの定理、Cramerの定理。

#数楽 Sanovの定理やCramerの定理の解説はhttp://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20160616KullbackLeibler.pdf …にあります。

#数楽 確率1/2のコイン投げのケースではX={表,裏}であり、X^Nの部分集合として、N回の独立試行で表の割合がp以下になる場合全体の集合を取り、その上に定まる条件付確率分布のX^N→XによるX上への射影のN→∞での極限は、p≧1/2のときP(表)=1/2で元のまま〜続く

#数楽 続き〜なのですが、p<1/2のときはP(表)=pと表になる確率がpに下がります。これは熱浴が登場する最も簡単な例でかつ、Sanovの定理の最も簡単な例になっています。

#数楽 注目する系Xを複製してX^Nを考えてN→∞としても「熱浴」的な議論を立派にできる。初歩的な確率論におけるこういう話を聞くと、DeligneさんによるWeil予想の(Riemann予想の類似部分の)証明の話が思い出されます。何か統計力学っぽい説明の仕方があれば面白い。

#数楽 熱浴的状況の説明をもっと詳しくする(1)固定されたXへの射影の族Z(N)→Xが定められていて、N→∞でdim Z(N)→∞となる。(2)Z(N)の上には「何か」S(N)がのっている。(3)N→∞での極限でS(N)のXへの「射影」について数学的に面白いことが言える。

#数楽 Maxwell-Boltzmann分布の例(1)Z(N)=R^N→X=R (第1成分への射影)(2)S(N)はR^N内の原点を中心とする半径√Nの球面上の一様確率分布(3)確率分布S(N)のX=Rへの射影はN→∞で標準正規分布に弱収束する

#数楽 ペレルマンさんが使ったリーマン幾何的熱浴の例(1)Xはリッチフロー付きリーマン多様体でZ(N)=X×S^N×R_{>0}(2)S(N)はZ(N)上のある種のリーマン計量(3)N→∞でS(N)はmod O(1/N)でリッチ平坦であり、元のX自身の解析に役立つ

#数楽 Weil予想の証明も例か?d次元のXにおいてq^{(d-1)/2}≦|α|≦q^{(d+1)/2}α^NはX^Nのαの一部ゆえにq^{(Nd-1)/2}≦|α^N|≦q^{(Nd+1)/2}全体のN乗根を取りN→∞とすると|α|=q^{d/2}

#数楽 熱浴的状況の「定義」をこうゆるめた方がよいか?(1)注目する系Xとそれを「含む」全体系Z(N)が与えられていて、dim Z(N)=N(2)Z(N)の上には「何か」S(N)がある(3)N→∞でのS(N)の様子の分析はX上の「何か」の分析に役に立つ

#数楽 問題：無限次元になりがちな分類空間の話を熱浴っぽいストーリーの話にできないか?

#数楽 メモhttp://www.tricki.org/article/The_tensor_power_trick …テンソル冪トリック正数に関する不等式A≦Bを証明するには任意の正の整数kについてA^k≦MB^k型の不等式を示せば十分という話。Mはkに多項式的に依存していてもよい。たくさんの例が書いてある。

#数楽 さらに同ページの最後には有限体上の曲線の場合のWeil-Riemann予想の話が載っているのですが、曲線の場合なので「熱浴」的なテンソル冪トリックの典型例であるRankin trick抜きで証明できてしまう。

#数楽 よくわからないけど、https://terrytao.wordpress.com/2008/08/25/tricks-wiki-article-the-tensor-product-trick/ …にリンクをはった方がよかったのかな？

#数楽 https://terrytao.wordpress.com/2007/09/05/amplification-arbitrage-and-the-tensor-power-trick/ …Amplification trickテンソル冪トリックより一般的。「熱浴」の話に相当に近い。

#数楽 はやガッテン。「熱浴」の話に相当に近いと期待して、amplification trickの例を見たが、いまいち関連性が薄い感じ。布団の中での検索ごっこも結構楽しい。

#数楽 学生時代には熱浴の概念をさっぱり理解できなかったのですが、所謂i.i.d.(独立同分布)な確率変数列が極めて熱浴らしい熱浴の中で数学的に最も易しいものになっていることを知って、少し理解が進んだ感じ。(完全に専門外の数学の話)

#数楽 可解格子模型の数学について勉強すると、最初に登場するのがボルツマンウェイトです。それはexp(-βH(s))の形をしている。βは絶対温度の逆数でH(s)は状態sのエネルギーです。系が状態sになる確率はボルツマンウェイトに比例していると考える。続く

#数楽 続き。ボルツマンウェイトが出て来た時点ですでに見えない形で熱浴は登場して来ている。物理的に自然な性質を持つ巨大な熱力学的系(熱浴)に模型で記述される系が接しているとき、系が状態sを取る確率がボルツマンウェイトに比例することを簡単な計算で示せます。普遍的な話。

#数楽 そこら辺の話は例のノート http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20160616KullbackLeibler.pdf … のp.49、7.3節に書いておきました。そこに書いてある話が、完全に熱浴らしい熱浴です。

#数楽 ボルツマンウェイトを出すために使われる最も重要な仮定は熱浴と注目系を合わせた全体系でエネルギーが保存しているという条件です。全体系は数学者なら単純に「熱浴と注目系の単純な直積」と定義したくなる代物です。単純な直積なら注目系に新しいことは起こらないのですが、〜続く

#数楽 続き〜、「全体系のエネルギーは一定である」という条件を課すことによって、熱浴と注目系のあいだに関係が生じます。その結果、熱浴と接してなければ一様分布している注目系が、ボルツマンウェイトで記述される確率分布に変化するのです。その仕組みは先のノートの主題の１つ。

#数楽 ボルツマンウェイトで記述される確率分布(統計力学用語ではカノニカル分布)には統計学で「指数型分布族」と名前がつけられているようです。カノニカル分布=指数型分布族の典型例は正規分布。

#数楽 ボルツマンウェイトe^{-βE_i}に状態iの確率が比例するとき、確率全体の和を1に正規化ふるために、Z(β)=Σe^{-βE_i}で割る必要があります。このZ(β)は分配函数と呼ばれる最重要母函数の１つになっています。

#数楽 例えば各整数nに対応する状態のエネルギーがn^2/2のとき、q=e^{-β}とおくと、分配函数はZ(β)=Σq^{n^2/2}という数学をちょっと勉強したことがある人達にとってお馴染みのデータ函数になります。分配函数以上に重要な母函数であるゼータ函数がこれに対応している。

#数楽 分配函数の最も簡単な例として挙げたテータ函数はメリン変換によってリーマンのゼータ函数に繋がっています。そのテータ函数はある種のボルツマンウェイトの分配函数なので、見えない形で熱浴をすでに利用していると言えます。

#数楽 リーマンのゼータ函数は難し過ぎるので、おもちゃとして遊べる例が欲しい。統計力学を含む統計学諸分野の中の代数統計学では分配函数型よりもゼータ函数型の母函数が有用になっている学習理論における例があるらしい。その辺のことは数学的教養として理解しておきたいものだと思います。

#数楽 以上のような数学的予備知識がある人であれば、誰であっても https://mobile.twitter.com/genkuroki/status/761701989730230272 … に書いたような疑問と希望を持つと思います。ハミルトニアン(全エネルギー函数)があれば統計力学を含む統計学諸分野にある概念一式を利用できるようになる！

#数楽 ガウス分布はボルツマンウェイトで記述される分布の典型例です。それに類するもの(ハミルトニアンにあたるもの)が「ない」とか言われてもすぐに信じることはできず、「本当はあるんじゃないの？」と言いたくなるのが人情というものだと思います。

#数楽 テータやゼータが出て来る話は統計力学を含む統計学諸分野における概念一式と必ず関係があるはず。

#数楽 tensor power trickの応用例http://math.univ-lyon1.fr/~confluentes/CM/03/0304/Aubrun.pdf …クラメールの定理(易しい大偏差原理)とテンソル冪トリックの組み合わせで、l_pノルムの「置換群作用に関する不変性」とある種の「乗法性」による特徴付けを証明。

#数楽 x=(x_i)_i、y=(y_j)_j、x⊗y:=(x_i y_j)_{i,j}と定める。l_pノルムが置換対称性と乗法性||x⊗y||=||x|| ||y||で特徴付けられるという結果はn-cafeでも紹介されていた。 https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/03/characterizing_the_pnorms.html …

#数楽 条件を満たすノルム|| ||に対して、||(1,1,0,…)||=2^{1/p}でpを決めて、下からの評価||x||≧||x||_p=(Σ|x_i|^p)^{1/p}と上からの評価||x||≦||x||_pが成立することを別々に示すという方針。

#数楽 下からの評価は確率論における易しい大偏差原理のクラメルの定理を使って示される。クラメルの定理に関する私による解説が http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20160616KullbackLeibler.pdf … の第6節にある(ちと雑いことに注意)。

#数楽 上からの評価は、乗法性の仮定から||x^{⊗n}||=||x||^nが成立することから、テンソル冪トリックを使うことをできて証明できるということになっているようです。既出の原論文はこれ→ http://arxiv.org/abs/1102.2618 

#数楽 テンソル冪トリックとは、正の数に関してα≦βを示すためにα^k≦Mβ^kを示すという方法のこと。Weil予想のリーマン予想部分のDeligneさんによる証明でも使われている(Kunnethの定理よりH^n(X)^{⊗k}⊂H^{nk}(X^k)を使う)。

#数楽 今更ですが、Terence Taoさんのブログは気楽に様々なアイデアについて語っていて面白いですね。たとえば、https://terrytao.wordpress.com/2013/07/19/the-riemann-hypothesis-in-various-settings/ …The Riemann hypothesis in various settings

#数楽 Taoさんのブログよりhttps://terrytao.wordpress.com/2008/04/27/285g-lecture-9-comparison-geometry-the-high-dimensional-limit-and-perelman-reduced-volume/ …熱方程式u_t=Δuの定常解がΔu=0の解になっていることは自明。逆にΔu=0に「熱浴」的な構成を施すと熱方程式が得られるという話が書いてあります。その部分は大学2年生なら読めると思う。

#数楽 続き。大雑把に説明すると、R^r×R^N上のラプラシアンをR^Nの成分について球対称な函数に制限し、R^Nにおける半径の2乗のN分の1をtと書くと、N→∞で、空間R^r、時間変数tの熱方程式が得られるという話。R^Nの部分が「熱浴」。t=-β=-(逆温度)とみるべきかも。

#数楽 そのブログ記事のその部分は本質的にMaxwell-Boltzman分布の話が書いてあるという理解でいいのかな?

#数楽 Maxwell-Boltzman分布の話の大学2年生レベルの説明はこう→全体系R^r×R^N内の半径√(r+N)の球面上の一様分布のR^rへの射影によって得られる確率分布はN→∞でr次元の標準正規分布に収束する。ゆえに半径を動かせば熱方程式の基本解が得られる。

#数楽 一つ前のツイートの内容の計算の詳細は http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20160501StirlingFormula.pdf … の第9.9節にあります。多変数の積分の単なる計算の話なので他人の計算を見ずに全部自力でやった方が早い人は結構いると思う。

#数楽 ラプラス方程式、熱方程式、R^Nを直積してN→∞とする、球面上の一様分布、正規分布、などなどは明らかに基本的かつ普遍的な題材なので、それらの関係の解説(多変数の微積分の計算)をコンパクトにまとめて解説したノートを公開する人が出るとみんなに感謝されると思う。

#数楽 続き。紹介しているブログ記事 https://terrytao.wordpress.com/2008/04/27/285g-lecture-9-comparison-geometry-the-high-dimensional-limit-and-perelman-reduced-volume/ … が説明したいことは、ペレルマンさんのアイデアは以上のMB分布の話の類似になっていることです。続く

#数楽 続き。ラプラス方程式：熱方程式＝リッチ平坦：リッチフローという類似関係があって、左辺は本質的にMaxwell-Boltzman分布の話で、右辺がペレルマンさんによるリーマン幾何的熱浴のアイデアです。

#数楽 ラプラス方程式や熱方程式のような例はすぐに計算してチェックできる「おもちゃ」として普遍的に重要。理学部数学科のカリキュラムでは他学科と比較するとその手のことに関する教養を身に付け難いと思う。数学科の学生は講義とは別に普通の微積分の応用の話を勉強しておくのがよいと思う。

ツイッターのようなSNS経由で数学の話にふれがちな人達は、行列やら微積分やらの大昔からある事柄とは異なる何か(流行中の話)に関する情報にたくさんふれがち。そういう流行とは無関係の大事な事柄について知らないと結局のところ様々な話について行けなくなると思う。