#数楽 ミニマックス定理の話直積集合X×Y上の函数f(x,y)について、inf_y f(a,y)≦f(a,b)≦sup_x f(x,b)よりsup_x inf_y f(x,y) ≦ inf_y sup_x f(x,y)は常に成立している。続く

#数楽 続き。sup_x inf_y f(x,y) = inf_y sup_x f(x,y)が成立するとき、「ミニマックス定理が成立する」と言います。最大最小が存在する場合にはmax_x min_y f(x,y) = min_y max_x f(x,y).

#数楽 例：X,YがそれぞれR^m,R^nのコンパクト凸部分集合であり、f:R^m×R^n→Rが双線形ならば、ミニマックス定理が成立する：max_{x∈X} min_{y∈Y} f(x,y) = min_{y∈Y} max_{x∈X} f(x,y).続く

#数楽 続き。この形のミニマックス定理を含むSionのミニマックス定理の「初等的な」(不動点定理を使わない)証明については http://koara.lib.keio.ac.jp/xoonips/modules/xoonips/detail.php?koara_id=AN00234610-19891001-0163 … を見て下さい。さらなる一般化については http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/102118 … を見て下さい。

#数楽 R^Nのコンパクト凸部分集合としてよく出て来るのは・単体Δ^{N-1}={(x_1,…,x_N)|x_iたちは非負でΣx_i=1} (確率分布の集合)とか～続く

#数楽 続き～、R^{m×n}を行列[x_{ij}]全体の集合と同一視して、・{ [x_{ij}] | 各iについてx_{i1},…,x_{in}は非負でそれらの総和は1 }などがよく出て来る。これは条件iの下での確率分布(x_{i1},…,x_{in})を与える集合。

#数楽 続き。「条件 i のもとでの行動 j を実行する確率をx_{ij}とする」というような設定では一つ前のツイートのような凸集合が自然に出て来る。ミニマックス定理と行動を確率的に決めるという設定(混合戦略を考える設定)の数学的相性は良い。

#数楽 以上のような話は、・グーで勝てば「グリコ」で3歩進める・チョキで勝てば「チョコレート」で6歩進める・パーで勝てば「パイナップル」で6歩進めるというルールでジャンケンするとき、グー・チョキ・パーをどのような割合で出せばよいか、という話を特別な場合に含みます。

#数楽https://ja.wikipedia.org/wiki/グリコ_(遊び) …Wikipedia: グリコ (遊び)

#数楽 その手のゲームでは損に見える手も低い確率で使わないと長期的には負けることになるんだよね。グリコ遊び程度なら最適な割合が簡単に計算できますが、多くのゲームでは非常に難しい。